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4函数的微分（第1页）

.4函数的微分

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微分概念的产生是解决实际问题的需要.计算函数的增量是科学技术和工程中经常遇到的问题，有时由于函数比较复杂，计算增量往往感到困难，希望有一个比较简单的方法.对可导函数类我们有一个近似计算方法，那就是用微分近似代替函数的增量，从而使计算得以简化.

一、　引例

在许多实际问题中，要求研究当自变量发生微小改变时所引起的相应的函数值的改变.

引例241先看一个实例：一块边长为x的正方形金属薄片，面积为s=x2，由于温度的变化，金属薄片的边长由x0变化到x0+Δx，如图241所示，问其面积改变了多少？图241

解s（x）=x2，

Δs=s（x0+Δx）－s（x0）=（x0+Δx）2－（Δx）2

=2x0Δx+（Δx）2.

其中2x0Δx在图形中表示两块长条矩形部分的面积，（Δx）2表示右上角的小正方形的面积，当Δx→0时，（Δx）2是比Δx高阶的无穷小，即Δx很小时，（Δx）2可以忽略不计，则Δs≈2x0Δx，因为s′（x）=2x，所以Δs≈s′（x0）Δx.

二、　微分的定义及其几何意义

1.　微分的定义

定义241设函数y=f（x）在点x0及其附近有定义，自变量x在x0附近有增量Δx，如果相应的函数的增量Δy=f（x0+Δx）－f（x0）可表示为Δy=AΔx+o（Δx），其中A是不依赖于Δx的常量，o（Δx）是比Δx高阶的无穷小（Δx→0），那么称函数y=f（x）在点x0处是可微的，称A·Δx为y=f（x）在点x0处的微分，记为dyx=x0，即dyx=x0=AΔx.其中，A·Δx通常称为Δy=A·Δx+o（Δx）的线性主要部分.“线性”

是因为A·Δx是Δx的一次函数，“主要”

是因为另一项o（Δx）是比Δx更高阶的无穷小量，在等式中o（Δx）几乎不起作用，而是A·Δx起作用.

定理241函数f（x）在点x0可微的充要条件是函数f（x）在点x0可导，且A=f′（x0）.注

意在f′（x0）≠0的条件下，以微分dy=f′（x0）Δx近似代替增量Δy时，其误差为o（Δx）.在Δx很小时

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